Aljabar

Pengertian Aljabar dan Asal Usul Aljabar

Pengertian Aljabar – Aljabar sering disebut sebagai generalisasi aritmatika dimana masalah dan operasi dinyatakan dalam variabel dan konstanta. Konstanta adalah beberapa angka yang selalu memiliki nilai yang sama, seperti 3 atau 14.89. Variabel adalah angka yang mungkin memiliki nilai yang berbeda. Dalam aljabar, huruf-huruf seperti a, b, c, x, y, dan z sering digunakan untuk mewakili variabel. Variabel seperti x mungkin mewakili satu, dua, atau sejumlah nilai. Misalnya, dalam persamaan x + 5 = 7, satu-satunya nilai yang dapat dimiliki x adalah 2. Dalam persamaan x= 4, maka x dapat berupa +2 atau −2. Dan dalam persamaan x + y = 9, x dapat memiliki jumlah nilai yang tidak terbatas, tergantung pada nilai y.

Asal-usul aljabar

Aljabar menjadi populer sebagai cara mengekspresikan ide-ide matematika di awal abad kesembila. Matematikawan Arab, Al-Khwarizmi dihargai dengan menulis buku aljabar pertama, Al-jabr wa Mul Muqabalah, yang menjadi cikal bakal kata aljabar. Judul buku ini diterjemahkan sebagai “memulihkan dan menyeimbangkan,” yang mengacu pada cara persamaan ditangani dalam aljabar. Buku Al-Khwarizmi berpengaruh pada zamannya dan tetap menjadi teks terpenting dalam aljabar selama bertahun-tahun.

Al-Khwarizmi tidak menggunakan variabel dengan cara yang sama seperti yang kita gunakan saat ini. Dia malah berkonsentrasi pada pengembangan prosedur dan aturan untuk menyelesaikan berbagai jenis masalah dalam aritmatika. Penggunaan huruf untuk mendukung variabel pertama kali disarankan pada abad keenam belas oleh ahli matematika Prancis Françoise Vièta (1540–1603). Vièta tampaknya adalah orang pertama yang mengenali bahwa satu huruf (seperti x) dapat digunakan untuk mewakili sekumpulan angka.

Aljabar
Aljabar

Aljabar dasar

Aturan-aturan aljabar dasar berhubungan dengan empat operasi yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan real. Bilangan real dapat dianggap sebagai bilangan apa pun yang dapat dinyatakan sebagai titik pada suatu garis.

Konstanta dan variabel dapat dikombinasikan dalam berbagai cara untuk menghasilkan persamaan aljabar. Nomor seperti 64x 2, 7YT, s / 2, dan 32xyz adalah contoh. Angka-angka demikian yang digabungkan dengan perkalian dan pembagian saja adalah monomial. Kombinasi dua atau lebih monomial adalah polinomial.

Persamaan a + 2b – 3c + 4d + 5e – 7x adalah polinomial karena terdiri dari enam monomial yang ditambahkan dan dikurangkan satu sama lain. Polinomial yang hanya mengandung dua bagian (dua suku) adalah abinomial, dan satu mengandung tiga bagian (tiga istilah) adalah trinomial. Contoh binomial dan trinomial, masing-masing, adalah 3x+ 2y dan 4a + 2b + 8c .

Salah satu tujuan utama dalam aljabar adalah untuk menentukan kondisi di mana beberapa pernyataan benar. Pernyataan seperti itu biasanya dibuat dalam bentuk perbandingan. Satu ungkapan dapat dikatakan lebih besar dari (>), kurang dari (<), atau sama dengan (=) pernyataan kedua. Tujuan dari operasi aljabar adalah untuk mencari tahu kapan kondisi seperti itu benar.

Sebagai contoh, anggap pertanyaannya adalah untuk menemukan semua nilai x pada persamaan x + 3 = 12 yang benar. Jelas, satu-satunya nilai x di mana pernyataan ini benar adalah x = 9. Namun, misalkan masalahnya adalah untuk menemukan semua x pada persamaan x + 3> 12. Dalam hal ini, ada kemungkinan jumlah jawaban yang tidak terbatas. Yaitu, x bisa 10 (karena 10 + 3> 12), atau 11 (karena 11 + 3> 12), atau 12 (karena 12 + 3> 12), dan seterusnya. Jawaban untuk masalah ini dikatakan tidak pasti karena tidak ada nilai tunggal x akan memenuhi kondisi pernyataan aljabar.

Dalam kebanyakan kasus, persamaan adalah alat yang dengannya masalah dapat diselesaikan. Kita mulai dengan persamaan yang diberikan, seperti fakta bahwa 2x + 3 = 15, dan kemudian diminta untuk menemukan nilai variabel x. Aturan untuk berurusan dengan persamaan seperti ini adalah bahwa operasi yang sama harus selalu dilakukan di kedua sisi persamaan. Dengan cara ini, persamaan antara kedua sisi persamaan tetap benar.

Dalam contoh di atas, seseorang dapat mengurangi angka 3 dari kedua sisi persamaan sehinga: 2x + 3 – 3 = 15 – 3, atau 2x = 12. Kondisi yang diberikan oleh persamaan tidak berubah sejak operasi yang sama (mengurangi 3) dilakukan pada kedua sisi. Selanjutnya, kedua sisi persamaan dapat dibagi dengan angka yang sama yaitu 2 untuk mendapatkan: 2x/2 = 12/2, atau x = 6. Sekali lagi, kesetaraan antara kedua sisi dipertahankan dengan melakukan operasi yang sama di kedua sisi .

Aplikasi/Fungsi. Aljabar memiliki aplikasi di setiap tingkat kehidupan manusia, dari situasi matematika sehari-hari yang paling sederhana hingga masalah paling rumit dalam ilmu ruang angkasa. Misalkan Anda ingin mengetahui harga asli CD yang Anda bayar $ 13,13, termasuk pajak penjualan 5 persen. Untuk mengatasi masalah ini, Anda dapat menggunakan huruf x mewakili harga asli CD. Maka Anda tahu bahwa harga CD ditambah pajak 5 persen berjumlah $ 13,13.

Informasi itu dapat dinyatakan secara aljabar sebagai x (harga CD) + 0,05x (pajak untuk CD) = 13,13. Dengan kata lain: x + 0,05x = 13,13. Selanjutnya, adalah mungkin untuk menambahkan kedua istilah x di sisi kiri persamaan: 1x + 0,05x = 1,05x. Maka Anda dapat mengatakan bahwa 1,05x = 13,13. Akhirnya, untuk menemukan nilai x, Anda dapat membagi kedua sisi persamaan dengan 1.05: 1.05x / 1.05 = 13.13 / 1.05, atau x = 12.50. Harga asli CD adalah $ 12,50.

Bentuk aljabar yang lebih tinggi

Bentuk-bentuk aljabar lainnya telah dikembangkan untuk menangani masalah-masalah yang lebih sulit dan khusus. Aljabar matriks, sebagai contoh, berkaitan dengan set angka yang disusun dalam kotak persegi panjang, yang dikenal sebagai matriks ( bentuk jamak dari matriks). Dua atau lebih matriks dapat ditambahkan, dikurangi, dikalikan, atau dibagi sesuai aturan dari aljabar matriks. Aljabar abstrak adalah bentuk lain dari aljabar yang merupakan generalisasi aljabar, sama seperti aljabar itu sendiri adalah generalisasi aritmatika.

Contoh Matriks
Contoh Matriks