Aritmatika

Pengertian Aritmatika (Cabang Ilmu Matematika)

Pengertian Aritmatika – Aritmatika adalah cabang ilmu matematika yang berkaitan dengan penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan penarikan akar bilangan tertentu yang dikenal sebagai bilangan real. Bilangan real adalah angka yang Anda kenal dalam kehidupan sehari-hari, misalnya bilangan bulat, pecahan, desimal, dan akar.

Perkembangan awal aritmatika

Aritmatika tumbuh dari kebutuhan yang dimiliki orang untuk menghitung objek. Misalnya, pria atau wanita pada Zaman Batu mungkin perlu menghitung jumlah anak yang mereka miliki. Belakangan, satu orang mungkin ingin mengetahui jumlah lembu yang akan diberikan sebagai ganti istri atau suami. Akan tetapi, selama berabad-abad, penghitungan mungkin tidak pernah melampaui angka 10.

Pada suatu waktu, orang mulai menyadari bahwa angka bisa berarti sesuatu selain benda nyata. Mereka memahami bahwa empat lembu, empat batu, empat bintang, dan empat keranjang semuanya memiliki kesamaan, “empat” yang dapat diekspresikan oleh beberapa simbol, seperti 4. Tampaknya bangsa Sumeria kuno Mesopotamia (setelah 4000 SM) adalah yang pertama mengembangkan cara sistematis untuk berurusan dengan angka dalam arti abstrak.

Sejauh ini, peradaban kuno yang paling maju secara matematis adalah orang Mesir, Babilonia, India, dan Cina. Masing-masing peradaban ini tahu tentang dan menggunakan bilangan bulat, pecahan, dan aturan dasar untuk berurusan dengan bilangan tersebut. Mereka menggunakan aritmatika untuk memecahkan masalah khusus di bidang-bidang seperti perdagangan, tetapi mereka belum mengembangkan sistem aritmatika teoretis.

Pembentukan sistem aritmatika teoretis semacam itu terjadi di antara orang-orang Yunani kuno pada abad ketiga SM. Orang-orang Yunani mengembangkan seperangkat teorema untuk berurusan dengan angka-angka dalam pengertian abstrak, dan bukan hanya untuk tujuan perdagangan.

Sistem penomoran

Sistem penomoran yang kita gunakan saat ini disebut sistem Hindu-Arab. Sistem ini dikembangkan oleh peradaban Hindu di India sekitar 1.500 tahun yang lalu dan kemudian dibawa ke Eropa oleh orang-orang Arab di Abad Pertengahan (400–1450). Selama abad ketujuh belas, sistem Hindu-Arab sepenuhnya menggantikan sistem angka Romawi yang telah digunakan sebelumnya.

Sistem Hindu-Arab juga disebut sistem desimal karena didasarkan pada angka 10. Sepuluh simbol yang digunakan dalam sistem desimal adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Sistem angka lainnya juga digunakan hari ini. Komputer, misalnya, beroperasi pada sistem biner yang hanya terdiri dari dua angka, 0 dan 1. Sistem waktu kita menggunakan sistem sexagesimal yang terdiri dari angka 0 hingga 60. (0-60 detik atau 0-60 menit)

Konsep utama dari sistem desimal adalah konsep nilai posisi. Nilai suatu angka tidak hanya bergantung pada digit spesifik (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, atau 9) yang digunakan, tetapi juga pada posisi digit itu dalam nomor tersebut. Misalnya, angka 532 berbeda dari angka 325 atau 253. Perbedaannya adalah fakta bahwa angka 5, 3, dan 2 muncul pada posisi yang berbeda.

Fitur kunci lain dari sistem desimal adalah angka nol (0). Peradaban kuno tidak memiliki cara untuk mewakili konsep ketiadaan. Mereka tampaknya tidak perlu mengungkapkan fakta bahwa mereka tidak memiliki sapi atau tidak punya anak. Bahkan sistem angka Romawi tidak memiliki cara untuk mewakili konsep nol (0). Konsep itu sangat penting dalam sistem angka Hindu-Arab, di mana 0 diperlakukan dengan cara yang persis sama dengan angka lainnya.

Aksioma dalam aritmatika

Hal-hal yang dilakukan seseorang dengan angka dalam aritmatika dikatakan sebagai operasi. Dua operasi dasar dalam aritmatika adalah penjumlahan dan perkalian, dan aturan yang digunakan untuk melakukan operasi ini disebut sebagai aksioma aritmatika. Aksioma adalah pernyataan yang kita terima benar tanpa meminta bukti untuk dibuktikan.

Aritmatika
Aritmatika

Istilah untuk diketahui

Hukum asosiatif: Sebuah aksioma yang menyatakan bahwa pengelompokan angka saat penambahan atau perkalian tidak mengubah hasil akhir.

Aksioma: Pernyataan fakta dasar yang ditetapkan sebagai benar tanpa harus dibuktikan.

Hukum komutatif: Aksioma penambahan dan perkalian yang menyatakan bahwa urutan angka ditambahkan atau dikalikan tidak mengubah hasil akhir.

Sistem angka Hindu-Arab: Sistem nomor posisi yang menggunakan sepuluh simbol untuk mewakili angka dan menggunakan nol sebagai penampung tempat. Ini adalah sistem angka yang kita gunakan saat ini.

Operasi terbalik: Operasi matematika yang membalikkan pekerjaan operasi lain; misalnya, pengurangan adalah operasi kebalikan dari penambahan.

Anda mungkin bertanya-tanya mengapa pengurangan, pembagian, dan operasi matematika lainnya tidak terdaftar sebagai operasi dasar aritmatika. Alasannya adalah bahwa semua operasi ini dapat dianggap sebagai ekstensi atau kebalikan (operasi mundur) penambahan atau perkalian. Misalnya, mengurangi 3 dari 9 adalah operasi yang sama dengan menambahkan nilai negatif dari 3 (−3) menjadi 9. Dengan kata lain: 9 – 3 sama dengan 9 + (−3). Demikian pula, pembagian adalah operasi terbalik dari perkalian.

Tiga aksioma mengontrol semua operasi penjumlahan. Yang pertama disebut hukum komutatif dan dapat dituliskan dengan persamaan a + b = b + a. Dengan kata lain, tidak membuat perbedaan di mana nomor urut ditambahkan. Hasilnya akan sama. Konsep itu mungkin masuk akal bagi Anda. Tidak ada bedanya apakah Anda memiliki Rp 30.000 dan mendapatkan tambahan Rp 60.000 akan lebih banyak jika memiliki Rp 60.000 terlebih dahulu dan mendapatkan tambahan Rp 30.000. Dalam kedua kasus tersebut, Anda mendapatkan Rp 90.000.

Aksioma kedua aritmatika adalah hukum asosiatif, yang dapat dinyatakan sebagai a + (b + c) = (a + b) + c. Dengan kata lain, jika Anda memiliki lebih dari dua item untuk ditambahkan, tidak ada bedanya bagaimana Anda mengelompokkannya untuk ditambahkan.

Akhirnya, aksioma penutupan mengatakan bahwa jika Anda menambahkan dua bilangan real, a + b, hasil yang Anda dapatkan juga bilangan real.

Tiga aksioma perkalian yang mirip dengan aksioma penambahan juga ada. Hukum komutatif mengatakan bahwa a × b = b × a. Hukum asosiatif mengatakan bahwa a × (b × c) = (a × b) × c. Dan hukum penutupan mengatakan bahwa a × b = bilangan real.

Hukum dan aksioma lain dapat diturunkan dari tiga hukum dasar penjumlahan dan perkalian. Penurunan tersebut tidak penting untuk diskusi aritmatika ini dan tidak akan dimasukkan di sini.

Macam angka/bilangan

Macam-Macam Bilangan/Angka
Macam-Macam Bilangan/Angka

Angka-angka yang digunakan dalam aritmatika dapat dibagi menjadi beberapa kategori: (sumber: pelajaran.id)

Bilangan Asli

Pengertian bilangan asli adalah bilangan positif yang di mulai dari bilangan satu keatas. Contohnya: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7….}

Bilangan Bulat

Pengertian bilangan bulat adalah himpunan bilangan bulat negatif, bilangna nol dan bilangan bulat positif. Contohnya: B = {…., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…..}

Bilangan Cacah

Pengertian bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang terdiri bilangan positif danb nol. Contohnya : C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,….}

Bilangan Prima

Pengertian bilangan prima adalah bilangan yang tidak dapat dibagi oleh bilangan lainnya kecuali bilangan itu sendiri dan 1. Contohnya: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …..}

Bilangan Nol

Pengertian bilangan nol adalan bilangan nol (0) itu sendiri. Contohnya: N = {0}

Bilangan Pecahan

Pengertian bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan a disebut dengan pembilang dan b disebut dengan penyebut. Contohnya: H = { ⅓, ⅔, ⅛, ⅝, ….. }
Keterangan: 4/2 = 2, berarti 4/2 bukan bilangan pecahan.

Bilangan Rasional

Pengertian bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a dan b merupakan anggota bilangan bulat dan b ≠ 0. Contohnya: R = { ¼, ¾, …. }

Bilangan Irrasional

Pengertian bilangan irrasional adalah himpunan bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau bilangan sekain bilangan rasional. Contohnya : I = { √2, √3, √5, √6, √7, ….. }
Keterangan √9 = 3 berarti √9 bukan bilangan irrasional.

Bilangan Real

Pengertian bilangan real adalah himpunan bilangan berupa gabungan antara bilangan rasional dan bilangan irasional. Contohnya: R = { 0, 1, ¼, ⅔, √2, √5, ….. }

Bilangan Negatif

Pengertian bilangan negatif adalah bilangan yang bernilai negatif. Contohnya: N = { -3, -5, ¼, …. }
Keterangan -1/-4 = ¼, jadi -1/-4 bukan bilangan negatif.

Bilangan Positif

Pengertian bilangan positif adalah bilangan yang bernilai positif selain nol. Contohnya: P = {2, 3, 4, 5, ¼, ….}

Bilangan Genap

Pengertian bilangan genap adalah bilangan-bilangan yang akan habis jika dibagi menjadi 2. Contohnya: Ge = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ….}

Bilangan Ganjil

Pengertian bilangan ganjil adalah bilangan yang jika dibagi 2 maka akan tersisa 1 atau bilangan yang dapat dinyatakan dengan 2n-1 dengan n adalah bilangan bulat. Contohnya: Ga = {-3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, …. }

Bilangan Komposit

Pengertian bilangan komposit adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1 tapi bukan termasuk dalam bilangan prima. Contohnya: K = {4, 6, 8, 9, 10, 12, ….}

Bilangan Riil

Pengertian Bilangan Riil adalah bilangan yang dapay ditulis dalam bentuk desimal. Contohnya: L = { 5/8, log 10, ….}

Bilangan Imajiner

Pengertian bilangan imajiner adalah bilangan i (satuan imajiner), dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i2 = -1. Contohnya: I = {i, 4i, 5i, …..}

Bilangan Kompleks

Pengertian bilangan kompleks adalah bilangan yang anggotanya a+bi, dimana a,b ϵ R, i2 = -1. Dengan a bagian bilangan riil dan b bagian bilangan imajiner. Contohnya K = {2-3i, 8+2, …..}

Bilangan Kuadrat

Pengertian bilangan kuadrat adalah bilangan yang dihasilkan dari perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri sebanyanyak dua kali dan disimbolkan dengan pangkat 2.
Contohnya : K = {22, 32,42,52,62,….}

Bilangan Romawi

Pengertian bilangan romawi adalah suatu sistem penomoran yang berasal dari romawi kuno menggunakan huruf latin yang melambangkan angka numerik. Contoh: M = {I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, XI, X, XI,…..}

Prinsip-prinsip matematika memberikan dasar untuk semua cabang matematika lainnya. Mereka juga mewakili aplikasi matematika yang paling praktis untuk kehidupan sehari-hari. Dari menentukan perubahan yang diterima dari pembelian hingga menghitung jumlah sendok gula yang dibutuhkan untuk membuat kopi, sehingga keterampilan aritmatika sangat penting.