Pengertian Bilangan Kompleks dalam Perhitungan Matematika

Pengertian Bilangan Kompleks – Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari dua bagian, satu nyata dan satu imajiner. Bilangan imajiner adalah akar kuadrat dari bilangan real, seperti √−4. √−4 dikatakan imajiner karena tidak ada bilangan real yang dapat memenuhi kondisi yang dinyatakan. Artinya, tidak ada angka yang dapat dikuadratkan untuk memberikan nilai −4. Angka imajiner √−1 memiliki sebutan khusus dalam matematika yaitu diwakili oleh huruf i.

Pengertian Bilangan Kompleks
Pengertian Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks dapat direpresentasikan sebagai binomial (pernyataan matematika yang terdiri dari satu istilah yang ditambahkan atau dikurangkan dari yang lain) dari bentuk a + bi. Dalam binomial ini, a dan b mewakili bilangan real dan i = √−1. Beberapa contoh bilangan kompleks adalah 3 – i, ½ + 7i, dan −6 – 2i.

Dua bagian bilangan kompleks tidak dapat digabungkan. Meskipun bagian-bagiannya digabungkan dengan tanda tambah, operasi penambahan tidak dapat dilakukan. Persamaan harus dibiarkan sebagai jumlah yang ditunjukkan.

Sejarah

Salah satu ahli matematika pertama yang menyadari perlunya bilangan kompleks adalah ahli matematika Italia Girolamo Cardano (1501-1576). Sekitar tahun 1545, Cardano mengakui bahwa metodenya dalam memecahkan persamaan kubik sering kali mengarah pada solusi yang mengandung akar kuadrat dari angka negatif. Angka imajiner tidak sepenuhnya menjadi bagian dari matematika, sampai makhirnya dipelajari secara panjang lebar oleh ahli matematika Prancis-Inggris Abraham De Moivre (1667-1754), keluarga matematikawan Swiss bernama Bernoullis, matematikawan Swiss Leonhard Euler (1707-1783) ), dan ilmuwan llainnya di abad kedelapan belas.

Perhitungan

Dalam banyak hal, operasi dengan bilangan kompleks mengikuti aturan yang sama dengan bilangan real. Dua pengecualian terhadap aturan itu muncul karena sifat bilangan kompleks. Pertama, apa yang tampak sebagai operasi tambahan, a + bi, harus dibiarkan dan tidak digabungkan.

Kedua, ungkapan umum untuk bilangan imajiner apa pun, seperti i= −1, melanggar aturan bahwa produk dua angka dari tanda yang sama adalah positif.

Aturan umum untuk bekerja dengan bilangan kompleks adalah sebagai berikut:

1. Kesetaraan: Agar sama, dua bilangan kompleks harus memiliki bagian nyata yang sama dan bagian imajiner yang sama. Yaitu, asumsikan bahwa kita tahu bahwa persamaan (a + bi) dan (c + di) sama. Kondisi itu bisa benar jika dan hanya jika a = c dan b = d.

2. Penambahan: Untuk menambahkan dua bilangan kompleks, bagian nyata dan bagian imajiner ditambahkan secara terpisah. Contoh-contoh berikut menggambarkan aturan ini:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i

(3 + 5i) + (8 – 7i) = 11 – 2i

3. Pengurangan: Untuk mengurangi bilangan kompleks, kurangi bagian nyata dari bagian nyata dan bagian imajiner dari bagian imajiner. Sebagai contoh:

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d) i

(6 + 4i) – (3 – 2i) = 3 + 6i

4. Nol: Untuk sama dengan nol, bilangan kompleks harus memiliki bagian nyata dan imajinernya sama dengan nol. Yaitu, a + bi = 0 jika dan hanya jika a = 0 dan b = 0.

5. Berlawanan: Untuk membentuk kebalikan dari bilangan kompleks, ambil kebalikan dari setiap bagian. Kebalikan dari + bi adalah – (a + bi), atau −a + (−b) i. Kebalikan dari 6 – 2i adalah −6 + 2i.

Istilah untuk diketahui

Bilangan kompleks: Suatu bilangan yang terdiri dari dua bagian yang terpisah, bagian nyata dan bagian imajiner, digabung dengan tanda +.

Nomor imajiner: Angka yang kuadratnya (angka dikalikan dengan dirinya sendiri) adalah angka negatif.

6. Perkalian : Untuk membentuk produk dari dua bilangan kompleks, kalikan setiap bagian dari satu angka dengan masing-masing bagian dari yang lain. Produk dari (a + bi) × (c + di) adalah ac + ad i + bc i + bd i . Karena bd i = −bd, produk akhirnya adalah ac + adi + bci – bd. Persamaan ini dapat dinyatakan sebagai bilangan kompleks seperti (ac – bd) + (ad + bc) i. Demikian pula, hasil perkalian (5 – 2i) × (4 – 3i) adalah 14 – 23i.

7. Konjugat: Dua angka yang bagian imajinernya berlawanan disebut konjugat kompleks. Bilangan kompleks a + bi dan a – bi adalah konjugat kompleks karena istilah bi memiliki tanda yang berlawanan. Pasangan konjugat kompleks memiliki banyak aplikasi karena produk dari dua konjugat kompleks adalah nyata. Misalnya, (6 – 12i) × (6 + 12i) = 36 – 144i , atau 36 + 144 = 180.

Konjugat Bilangan Kompleks
Konjugat Bilangan Kompleks untuk memahami Pengertian Bilangan Kompleks

8. Pembagian: Pembagian bilangan kompleks dibatasi oleh fakta bahwa bilangan imajiner tidak dapat dibagi dengan sendirinya. Pembagian dapat dilakukan, namun, jika pembagi diubah pertama kali menjadi bilangan real. Untuk melakukan konversi ini, pembagi dapat dikalikan dengan konjugat kompleksnya.

Representasi grafis

Setelah bilangan kompleks ditemukan pada abad ke delapan belas, matematikawan mencari cara untuk mewakili kombinasi bilangan real dan imajiner ini. Salah satu saran adalah untuk mewakili angka-angka secara grafis, seperti yang ditunjukkan pada Gambar pertama di atas. Dalam sistem grafis, bagian nyata dari bilangan kompleks diplot sepanjang sumbu horizontal dan bagian imajiner diplot pada sumbu vertikal.

Penggunaan bilangan ini

Untuk semua komponen “imajiner” yang dikandungnya, bilangan kompleks sering muncul dalam perhitungan ilmiah dan rekayasa. Setiap kali solusi untuk persamaan menghasilkan akar kuadrat dari angka negatif (seperti √−9), maka bilangan kompleks terlibat. Salah satu masalah yang dihadapi oleh seorang ilmuwan atau insinyur, kemudian, adalah untuk mencari tahu apa yang mewakili angka-angka imajiner dan kompleks di dunia nyata.

Semoga tulisan mengenai Pengertian Bilangan Kompleks ini bisa bermanfaat.

Next Post

Biografi Girolamo Cardano (Ahli Matematika)

Biografi Girolamo Cardano – Girolamo Cardano Lahir tanggal 24 September 1501 di Pavia, Kadipaten Milan (sekarang Italia), meninggal tanggal 21 September 1576 di Roma (sekarang Italia). Nama Girolamo atau Hieronimo Cardano adalah Hieronymus Cardanus dalam bahasa Latin dan dia kadang-kadang dikenal dengan versi bahasa Inggris dari namanya Jerome Cardan. Girolamo Cardano adalah anak […]
Biografi Girolamo Cardano
Please disable your adblock for read our content.
Segarkan Kembali